Соединения тел: пять кубов и тридцать две точки

Лента времени

1. АнтичностьУже Евклид знает, что тела можно вписывать друг в друга. Дуальные пары (куб-октаэдр, додекаэдр-икосаэдр) для греческой геометрии обычное дело. Фундамент соединений заложен в «Началах».
2. 1509Пачоли и Леонардо в «De divina proportione» печатают тела в «скелетной» манере vacuus, одни рёбра. Впервые широкий читатель видит устройство тел насквозь, а без этого о вложениях не поговорить.
3. Нач. XVII в.Кеплер описывает stella octangula, простейшее соединение (два тетраэдра) и одновременно мост к звёздчатым формам.
4. XIX в.Геометры (Хесс и школа исследователей многогранников) приводят правильные соединения в систему: пять тетраэдров, десять тетраэдров, пять кубов и другие получают строгие описания.
5. XX в.Коксетер в «Regular Polytopes» закрепляет канон. Веннинджер издаёт руководства по моделям, и соединения уходят в учебные классы и на столы любителей.
6. Кон. XX в.«Сакральная геометрия» нью-эйджа заново открывает соединения как «тайные структуры мироздания»: с честной геометрией внутри и новыми толкованиями снаружи, у которых нет источников.

Геометрия: четыре теоремы, звучащие как магия

Пять кубов в додекаэдре. Внутрь додекаэдра вписываются ровно пять кубов так, что все их вершины оказываются вершинами додекаэдра: 5 кубов × 8 вершин = 40, и они укладываются на 20 вершин додекаэдра, по два куба на каждую. Рёбра кубов служат диагоналями пятиугольных граней. Эзотерика читает это как «пять стихий внутри Вселенной». Геометрия просто доказывает построение.

Пять тетраэдров и зеркало. В том же додекаэдре живут пять тетраэдров, и у этого соединения есть свойство красивее любой выдумки: оно хирально, то есть бывает в двух зеркальных версиях, как левая и правая перчатки. Сложите обе, и получите соединение десяти тетраэдров.

Куб + октаэдр. Дуальная пара, вложенная ребро в ребро. Их пересечение даёт кубооктаэдр, а выпуклая оболочка даёт ромбододекаэдр: этим телом пчелиные ячейки смыкаются в глубине сот.

Додекаэдр + икосаэдр = 32 точки. Соедините дуальную пару: 12 вершин икосаэдра и 20 вершин додекаэдра дают 32 точки, и это в точности вершины ромботриаконтаэдра, тридцатигранника из золотых ромбов, ближайшего родственника «сферы из точек». Число 32 здесь не подгонка, а арифметика: 12 + 20.

Значения по словарям

Математика: соединения показывают, что пять «отдельных» совершенных тел составляют одну семью с общими вершинами, осями и симметриями. Это язык теории групп до её рождения.

Ренессанс: скелетные гравюры Леонардо сделали «прозрачность» тел эстетикой, а без неё соединения не увидеть и не полюбить.

Эзотерические словари: число 32 притягивает каббалистическую параллель с 32 путями премудрости «Сефер Йециры» (10 сфирот + 22 буквы). Честная разметка: оба ряда настоящие. 32 вершины доказуемы, 32 пути записаны в своей традиции, но связи между ними ни один текст не подтверждает. Совпадение чисел ещё не общий источник. Кто держит в голове оба факта и не склеивает их, тот читает, а не фантазирует.

Как отличить

• Соединение: несколько самостоятельных тел, вложенных вершина в вершину.
• Звёздчатая форма: одно тело с продолженными гранями (см. соседнюю страницу).
• Усечение: срезание вершин одного тела (так из икосаэдра рождается футбольный мяч).
• Дуальность это не соединение, а отношение: грани одного отвечают вершинам другого. Соединение дуальной пары даёт её «портрет вдвоём».

Разбор произведения

Что изображено: икосаэдр, из которого оставлены только «брусья» рёбер, так что тело видно насквозь. Когда и кем: рисунки Леонардо к трактату Пачоли, написанному к 1498 году и напечатанному в 1509-м. Что это значило: Леонардо изобрёл сам способ смотреть, которым мы пользовались всю страницу, то есть прозрачность вместо сплошной грани. Именно так становятся видны пять кубов внутри додекаэдра и 32 общие точки дуальной пары. Иногда главный вклад художника в науку это не открытие, а взгляд.

Мифы вокруг знака

Первоисточники

Евклид, «Начала», кн. XIII-XV (взаимные вписывания). Пачоли и Леонардо, «De divina proportione» (1509). Работы Хесса и геометров XIX века о правильных соединениях. Коксетер, «Regular Polytopes». Веннинджер, «Модели многогранников». «Сефер Йецира», для каббалистического ряда 32 (как отдельного словаря).