Золотое сечение: пропорция и её легенда

Лента времени

1. ≈300 до н. э.Евклид определяет «деление в крайнем и среднем отношении» и строит его циркулем и линейкой. Пропорция работает в пентагоне, пентаграмме и додекаэдре. Никакой мистики в тексте нет, есть только безупречная геометрия.
2. 1202Пиза: Фибоначчи в «Liber Abaci» решает задачу о размножении кроликов, и так рождается ряд 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Сам Фибоначчи о φ не пишет ни слова. Связь заметят позже.
3. 1509Пачоли издаёт «De divina proportione» с рисунками Леонардо. Пропорция получает богословское имя «божественной» и первую волну славы за пределами математики.
4. Нач. XVII в.Кеплер называет две «драгоценности геометрии»: теорему Пифагора и деление в крайнем и среднем отношении. И замечает главное: отношения соседних чисел Фибоначчи стремятся к φ. Два сюжета сливаются в один.
5. 1835Немецкий математик Мартин Ом впервые печатает термин «золотое сечение» (goldener Schnitt). Самому имени знака нет и двухсот лет.
6. 1876Густав Фехнер экспериментирует с «самым приятным прямоугольником». Результаты шаткие, повторные опыты их уверенно не подтверждают. «Психология золотого прямоугольника» так и не стала фактом.
7. ≈1914Появляется обозначение Φ, в честь скульптора Фидия. Жест красивый, но сделан задним числом: документов о том, что сам Фидий считал в φ, нет.
8. XX-XXI вв.Честные триумфы. Ле Корбюзье сознательно строит систему «Модулор» на φ, и это факт из документов, а не легенда. Мозаики Пенроуза и открытые в 1982 году квазикристаллы оказываются пронизаны золотой пропорцией. φ находит себя не в древних фасадах, а в ботанике и физике.

Где φ живёт на самом деле

Пентаграмма и додекаэдр. Диагонали правильного пятиугольника делят друг друга точно в φ. А пятиугольник это грань додекаэдра. Всё «золото» пентаграммы это теоремы, а не поверья (см. страницу пентаграммы).

Филлотаксис. Листья на стебле и семена в корзинке подсолнуха закладываются под «золотым углом» ≈137,5°, а спирали семян считаются соседними числами Фибоначчи. Это настоящая, измеримая ботаника. Такой угол даёт самую плотную упаковку без наложений. Природа выбирает φ за иррациональность, за «несоизмеримость» с любым целым оборотом.

Самое иррациональное число. Цепная дробь φ состоит из одних единиц. Поэтому φ хуже всех чисел приближается дробями. Именно поэтому φ выныривает в задачах об устойчивости и упаковке, а ещё в квазикристаллах Шехтмана.

Как отличить

• Доказанное φ живёт там, где есть чертёж или измерение: пентагон, филлотаксис, Модулор, мозаики Пенроуза.
• Приписанное φ появляется там, где прямоугольник накладывают на фотографию задним числом. Рамку можно подобрать почти к чему угодно.
• Логарифмическая спираль это целое семейство спиралей с постоянным углом. «Золотая» лишь одна из них, с коэффициентом φ за четверть оборота. Не всякая красивая спираль золотая.

Разбор произведения

Что изображено: многогранник, вычерченный Леонардо для трактата Пачоли. Когда и кем: рукопись завершена к 1498 году в Милане, напечатана в 1509-м. Что это значило: Пачоли назвал пропорцию «божественной» за её свойства (единственность, несоизмеримость, самоподобие) и связал с пятью телами. Леонардо дал этому языку зрение. Одна оговорка: книга стала вершиной документированной славы φ, но даже она не утверждает ни «Парфенона по φ», ни «лица по φ». Эти сюжеты допишет реклама XIX-XX веков. Первоисточник скромнее легенды и сильнее её.

Мифы вокруг знака

Первоисточники

Евклид, «Начала» (кн. II, предл. 11, кн. VI, опр. 3, кн. XIII). Фибоначчи, «Liber Abaci» (1202). Пачоли, «De divina proportione» (1509). Кеплер о «двух драгоценностях» и пределе отношений Фибоначчи. M. Ohm (1835), первый печатный термин. G. Markowsky, «Misconceptions about the Golden Ratio» (1992). Ле Корбюзье, «Модулор». Обзоры по филлотаксису и квазикристаллам.